4月10日12時，演算《張朝陽的光線館講物理課》第二百四十四期開播，搜狐創始人、偏的物的運動方董事局主席兼首席執行官、折張走進物理學博士張朝陽空降北京天文館，朝陽程運用測地線方程這一利器，理課詳解光的天文引力偏折。光線偏折計算的解光三種路徑1919年，愛丁頓帶領兩支團隊分別來到位於西非的演算普林西比和巴西的索夫拉爾，進行了著名的光線館講愛丁頓實驗，這也是偏的物的運動方廣義相對論最有力的早期驗證實驗。在正常情況下，折張走進由於太陽光過於強烈，朝陽程地麵觀者無法直接觀測到靠近太陽方向上的理課星星，但在發生日全食時，天文月球完全遮擋了太陽光，使背景恒星得以清晰地顯現出來。這時，如果恒星的光線在穿越太陽附近時發生了偏折，那麽從地球上觀察，恒星的位置看起來就會與其實際位置有所偏離。愛丁頓團隊在1919年的日食觀測中，記錄了恒星在太陽附近出現的位置，並將這些觀測位置與這些恒星正常位置的照片進行對比。通過測量位置偏移量，實驗確認了光線確實發生了偏折，並且數值與廣義相對論的預言完全吻合。事實上，並不是隻有廣義相對論中預言了光線偏折效應。在描述光線被引力場彎折的過程中，曆史上形成了三種不同視角。首先，牛頓引力理論將光視為具有微小質量的粒子，簡單地認為光線經過大質量天體附近時受到萬有引力的作用而偏折，但這一方法預測的偏折角度偏小，僅為廣義相對論精確計算結果的一半，無法準確解釋實驗觀測。另一方麵，惠更斯原理和等效折射率方法則將引力場類比為具有空間變化折射率的透明介質，這種模型類似於好色先生视频在大氣中觀察到的海市蜃樓現象——光線穿過非均勻介質時由於折射率變化而彎曲，直觀易懂但本質上是一種類比和近似，缺乏對引力現象本身的深入揭示。而愛因斯坦的廣義相對論從根本上革新了引力的物理圖景，認為質量導致時空結構發生彎曲，光線沿彎曲時空中的測地線傳播。展開全文這一方法的預測結論是牛頓理論的兩倍，與愛丁頓實驗對日食觀測的結果嚴格一致，並在現代天文學中通過引力透鏡效應、黑洞視界陰影、黑洞光子球等精確觀測中被不斷證實。因此，從理論本質、物理嚴謹性和計算精度而言，廣義相對論無疑是描述光線偏折現象最深入、最全麵、最準確的理論框架。，也即不額外引入任何“轉動”或“加速度”，則輸運後的切矢仍與該點處的切矢方向完全相同。換句話說，測地線上的切矢始終能通過曲線上的自平移保持平行，不產生額外的方向改變。這裏給出一個非測地線與測地線對比的例子：在地球表麵上，從北京飛往紐約可以有很多種航道，例如經過太平洋上空或經過北冰洋上空，北冰洋航線時間更短，假如嚴格在走球麵大圓的一段就是測地線，而太平洋航線就是非測地線。在平直空間中，這種自平移的特性恰好由直線體現：直線上任一點的切矢經沿自身輸運，始終保持方向不變。因此，測地線可看作是彎曲空間中的“廣義直線”，即直線概念向彎曲空間的自然推廣。平直空間中兩點之間線段最短，而廣義相對論斷言：光線在時空中沿類光測地線傳播，本質上是在彎曲時空的幾何結構中選取了自然的、最短或極值長度路徑。所以在廣義相對論中討論物體的運動，最重要的就是對測地線的描述，了解了測地線就能得到物體的運動方程。在此之前還有一步準備工作，也是必要前提，就是描述時空長什麽樣。愛因斯坦方程決定了時空的幾何，也就是度規，光線偏折涉及的是太陽外部的時空，之前的課程已經對此有詳細的討論和計算，這裏就不加證明的認為時空背景是史瓦西度規：其中史瓦西半徑在廣義相對論的處理中，也可以將光看作一種粒子即“光子”，它的時空坐標為：任意的一個一階張量在時空中的平行移動以下式來表達：當這個一階張量就是類時運動的粒子的四速度時有：dτ是粒子的線長。然而對於類光的粒子而言，它的時空間隔恒為零，屬於類光間隔這使得類光粒子的原時間隔不能出現在分母上。之前已經提到，隻有以仿射參數參數化的測地線切矢才是自平移的，對於類時測地線而言，線長參數自動是仿射參數，所以隻要對類光測地線選擇合適的參數成為仿射參數即可良好定義切矢的平行輸運。找到仿射參數是總可以做到的，直觀的看是因為類光粒子的傳播是真實的物理事件。能夠描述光的運動、它的演化、傳播的參數λ就是類光測地線的仿射參數，λ當然是一個標量，也即：此時就得到了非常重要的類光測地線方程運用測地線方程，推導光的軌道方程接下來就是將史瓦西度規代入到測地線方程來做具體的計算。當α=0時非0的克氏符隻有：從而有關於坐標t的方程為：引入變量：則微分方程變為：積分解得：則最終方程的形式為：當α=3時，按照類似的分析，此時非0的克氏符隻有：帶入解出方位角Φ的方程為：這裏的兩個方程的積分常數分別具有能量與角動量的含義，粗略的說，這對應了能量守恒與角動量守恒。正是因為有角動量守恒，光的運動將始終保持在等θ麵上，這樣好色先生视频總可以選取坐標係的極軸，把光的運動限製在赤道麵上，對於α=2的分量這就是：對於α=1分量，則不用硬代入測地線方程，而是用光的世界線線元為0的性質得到代入剛剛得到的α=0和3所對應的守恒量整理一下得到要求解的是r和Φ的關係，λ在這裏隻是起到一個中間參量的作用。為了突出待求解的r和Φ的關係，做變量替換到這一步，就已經把和仿射參量λ有關的項統一用守恒量替換掉了。接下來仿照牛頓引力下行星運動軌跡的求解套路，對方程再做一次比耐代換，令y=1/r，得到：這是一個一階微分方程，一階項y'=dy/dΦ帶有一個平方，可以方便地轉化為類似牛頓引力情形的二階微分方程，隻需要兩邊同時再對Φ求導整理後，得到最終的軌道方程用微擾近似求解軌道方程現在來看看這個方程該如何求解。由於方程右側出現了y的平方項，它不再是一個線性方程，難以嚴格求解。但本文所考慮的偏折光線的天體是太陽，對它而言，史瓦西半徑大約是3km，而太陽本身的半徑就有7×10⁵km。在光線經過太陽時，離太陽的距離更是要大於這個半徑。這時就能夠使用微擾法來試探求方程的近似解。可以認為方程右側的平方項相比於y是一個小量這樣初步來看，方程的解應該很接近下麵這個零級近似方程的解這個方程就是諧振子方程，它的解可以一眼看出。如果選取Φ=0對應光子從無窮遠處入射而來的方向，方程的解就是這是一個直線在極坐標係下的方程，意味著光線完全不被偏折。其中參數A代表直線離原點的距離的倒數。下麵重新考慮剛剛被忽略掉的小量，類比微擾論的思想，把這個小量當做對近似方程的微擾，用零級近似解的三角函數形式作為對原方程一級近似解的試探函數。首先，把零級近似解代入到軌道方程右側的小量中，這裏出現了三角函數的平方項，所以在一級近似解中，也應該展開到三角函數的平方項。根據這樣的考慮，一級近似解的試探函數可以寫為在上式中，之所以不包含cos²Φ，是因為它可以變換為1-sin²Φ，從而被吸收到第三項和第四項中。接下來要考慮的是四個待定係數之間的關係。對於初始條件，仍然選取Φ=0對應光子無窮遠的位置，這就要求把一級近似的試探函數代入軌道方程的左側，至於軌道方程的右側，它是一個小量，所以仍然隻代入零級近似解利用倍角關係，可以把三角函數中角度變量含有2的倍數的項統一成平方項，得到等式兩邊要對任意的Φ恒成立，就要求綜合所得到的三個關係式，可以把一級近似試探解寫成可以看到第二項是一個完全平方項，所以多了第二項後，y比牛頓引力的情況更大了。一方麵，在Φ→0處仍然有y→0的極限，這意味著Φ必須偏離π的取值，也就是光線出現了偏折。在導出B+D=0這一關係時，已經蘊含了光線在Φ→0的角度入射這一條件。光的出射角一定隻有一個小的偏差，因此就可以在零級近似出射角π的基礎上加上一個偏折角δ，記為Φ→π+δ，那麽有取δ的小角近似，並約掉一個y_0，進一步地，由於r_sy_0=r_s/r_0是一個和δ同階的一階小量，所以對於²隻需要保留到零階，這樣就得到這裏需要額外補充一下對參數A的討論。在零級近似解中，y_0代表軌跡離引力源最近距離的倒數。對於一級近似解，試探函數依然是在π/2附近取到y的極大值，也就是r的極小值，所以依然可以近似認為於是，偏折角就可以寫成這個結果和用等效折射率的方法所得到的結果一致。相比於經典牛頓引力的結論，廣義相對論對光線偏折的預言是其整整兩倍，帶入真實數據得到結果是1.75角秒，這與愛丁頓團隊觀測日全食得到的星光偏移數據更加吻合，從而有力地證明了廣義相對論的正確性。對於微擾解法的局限性在這裏需要一些討論。當引力場極端強大時，微擾近似將完全失效。從方程上來看，就是當星體的史瓦西半徑可以和光路距離星體的距離相比時，微擾方法將不能使用。在這種情形下，時空曲率極高，無法看作平直空間的小擾動；高階項的貢獻顯著甚至主導，必須使用完整的施瓦西度規進行精確計算。黑洞周圍典型的極端情形之一便是光子球。光子球對應於黑洞周圍特定的穩定或非穩定圓形光子軌道，光線可以圍繞黑洞“環繞”多圈甚至無限圈。在光子球附近，微擾方法的條件明顯被破壞，因而必須轉向完整的非線性精確解來描述光線軌跡。從這個角度看，黑洞光子球的存在恰好體現了微擾方法適用性的一種邊界和極限，體現了廣義相對論在不同引力尺度上的豐富內涵。據了解，《張朝陽的物理課》於每周周日中午12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻APP“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的物理課”賬號，查看課程中的“知識點”短視頻；此外，還可以在搜狐好色先生破解版成人APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。